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  高校入試でターイセツなこと、って何だ?!
§86 数学の図形分野について new
<入試数学の問題の半分は、図形でしょう?!・・・> 

 今回、数学の問題集を作りながら感じたことを以下、すこし述べていきたいと思います。

「数学って、なんだ?!」と、その質問の意味がどうもいまいちよくわからない問いにもし応えるとすれば、「それは、まあ、図形だなあ」と、これまた問いの意味をよく斟酌することもなく、また的外れもお構いなく言いたいところです。

 昔はもうちょっと、中学数学にもびしっとした言い方がありました。「代数」と「幾何」です。代数は、ふん、それがどうした、という気持ちをいくぶん持っていました。しかし幾何には、気を抜くことができない、用心を怠るとひどいしっぺ返しがくる惧れがあると感じ、緊張感を抱いて問題に向き合ったように思います。

 それに較べ、いまの中学数学の図形のありようは、どうも生温い。教科書然り、公立中学生の図形能力然り、学校の教え方然りです。ところが、そんな事態にはお構いなく、入試数学の図形問題は決して生温くありません。図形に対する直観力とダイナミックな思考を要するところは、いまも見事に続いている。

 公立中学の数学全般の内容、そこに占める図形についてちょっと考えてみます。

 下に「図形」を習う期間を書いてみました。【 】で括ってある部分です。
 中1、2年は12ヶ月、中3は10ヶ月として、誤差はあるでしょうが、また休みもあるのも考慮しなければなりませんが、大体の習う時期のイメージとその割合が、およそわかるかと思います。

 <中1>→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9【10】【11】12
 <中2>→ 1 2 3 4 5 6 7【8】【9】【10】11 12
 <中3>→ 1 2 3 4 5 6 7【8】【9】【10】

 どうでしょうか?――― 少ない、ですね。あまりにも、学習する期間が少ないのです。

 ご存知でしょうか、入試問題からみますと、その構成が仮に大問4問としますと、図形は2問(平面図形と空間図形)占めることが多いのです。大問5問構成なら、確実に2問が図形です。つまり、図形問題ができなければ、入試数学で高得点はとれないということです! これは断言しておきます。高得点でなくとも、まあそれなりにという点数ですら、実際かなり厳しいことになる。図形が強くなければ、図形問題に強くならなければ、入試数学はまず攻略できないということです。

 数学の実力の「半分」は図形に在り、といっても過言ではありません。ついでにいいますと、残りは関数がポイント。あとに来るのは新学力観とやらで、規則性を見つける問題、日常の中の問題から数学思考を見る問題などです。おいおい、計算はどうした? 文章題はどうなった? 

 小学校では文章題が苦手、中学では関数がいまひとつわからない、図形が弱い、という声をよく聞きますが、じゃあ、数学の、なにが出来るの?!といいたい。入試数学から観た場合、「図形」と「関数(または(思考力をみる問題)」で総得点の3分の2を占めますよ。この現実をよくよく認識しておいて、中学数学の勉強に臨んでほしいと思います。

 各学年、最後のほうで図形を習うわけです。中1では正負の数に始まり、文字式、方程式、正比例、反比例、そして、平面・空間図形、あとちょこっと資料の整理などが入ります。学校の授業進度で考えますと、小学校から含めて考えるなら、図形はなんと呆れることに、ほぼ1年ぶりに勉強することになりますね。

 つまり、平均的な生徒ならゆうに1年間、頭のなかには図形なるものが、図形をみる目と感覚、そして思考がまるっきり存在していない、まったく働いていないということです。ちょっと乱暴な表現ですが、それは、手を加えないほったらかしの休耕田と同じ状態ではありませんか。その土壌は、かちかちに固まってやせ細り、養分なんてほとんどないのに均しい。

 その図形センスなるものは、そうですね、中1生なら、立方体(の見取り図)を描かせてみてください、1分もかかりませんから。条件は、ものさしを使わずに手書きということ、また何もいわないと小さな図しか描きませんから(それでは判別できない)、1辺3センチくらいの(それ以上大きくてもかまいません)立方体、と指摘してみてください。

 その結果を、5タイプに別けてみましょうか。

1.「立方体」とは何なのかわからず、描けない生徒。

2.線が平行に描けておらず、立方体の体をまったくなしていない。

3.実線に対し、見えない部分が点線で描けていない。

4.立方体というより、どう見ても直方体にしか見えない。

5.ちゃんと立方体に見える。

 小学校で如何に適当で杜撰な図形勉強をやって来たかが、またそんなことと関係なく、本人の図形感覚のあまりにも稚拙で未発達なのがわかるはずです。4ならまだいいほうで、半数以上の生徒が2だと推測しますが。さて、どうでしょうか? 5だけがまともな図形能力を有しています。

 これに比例するかのように、1年ぶりで習う中1の図形の内容はというと、忌憚のない正直な感想を言わせてもらえば、ほんとお粗末でたいしたことはなく、平凡で発展性のまずない問題(通常の学校の授業内容ではの話です)、こんなのによくもまあかなりの時間を費やすなあ、と思う内容です。たいしたことがないのに、勿体ぶって時間をかけ過ぎのような気がします。

 中2の図形から、やっと数学らしい内容になるでしょうか? しかし、またしてもその間隔は、8ヶ月ほど開くのですね。これはおかしいですよ。ほんのちょっとだけ図形の基礎、底辺なるものを中1で齧ったにすぎませんが、生徒の頭はまたしても図形から遠のき、中断されてしまうことになる。つまり、この不連続性のため、かなりの数の生徒が、中2の2学期の時点で満足な図形の知識も持たず、じゅうぶんな思考もできず、苦手な分野となってしまいます。

 当前ですよね、これだけ間隔があき、上っ面の図形しか演習していないのですから。その中2の内容ですが、図形でもっとも重要な「相似」が、いまは中3に移行しています。これはどういうことかというと、相撲で譬えるなら、横綱が消えてなくなったに均しい。「合同」とその証明なんか、3ランク下の小結以下でしょう。また習う内容は浅く(それでも証明には、生徒は大の苦手としますが)、応用、発展の問題は、入試の観点でいうなら、あまりに少なく奥行きもほとんどない。

 図形の頭は、あまり休めないほうがいいのです。がしかし、また中3になると、その間は開き、学校ののんびりしたペースでみると、9ヶ月ほど習わないことになります。ひどいも何も、生徒は証明はおろか平行四辺形の定理ですら忘れていますよ。このような状態で、図形ができる筈がないではありませんか? 基礎的なことはなんとかわかっても、応用になると、つまり入試問題でみると、からっきしダメになる生徒のあまりにも多いこと・・・。

 このことは学校の定期テストではまず判断できませんから。厳しい言い方になりますが、図形に関するかぎり、定期テストの点がたとえ85点でも94点でも、それがどうした、いったい何?と思っています。入試問題の図形は、そんな基礎のテストの点数では決して計れないことを、経験で嫌というほど味わってきましたので。図形には強い、そこそこ図形能力があるなあという生徒も最終の篩にかけると、残念ながらさらに減ってしまうのです。

 さて、このことは措いて、中3の2学期後半から「相似」「3平方の定理」の勉強です。これに「円」が加わり、「図形と計量」の単元があります。まさに入試図形問題が産み出される宝庫です。

 これを学校では高々3ヶ月ぐらいでするわけですから)、それも応用や難しい入試に出る問題はできるるけぎり敬遠し避けて、基本だけを学校で教わるだけですから、入試図形への対応もなにもまるっきりないと考えておいたほうがいいことを、ここで書いておきます。

 時間をあまりかけないでもいいのに、基礎だからといって時間をかける。時間をかけてやらねばならないときに、なんら応用やその解説をすることもなく時間もない。これが現状の学校での図形勉強の姿です。矛盾していますね。おわかりになると思いますが、これではまったく図形能力は育たない。

 図形の頭はあまり休めないほうがいい。もっと図形に接する時間を増やし、あまり休める期間を設けず少しずつでもいいので絶えず訓練をする。応用問題にチャレンジして思考する癖をつけること、そのなかで解法のポイントとノウハウを吸収し身につけることが、入試数学を制する重要な鍵になると考えています。