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  高校入試でターイセツなこと、って何だ?!
§139 「算数の図形教室」問題集について
<断崖絶壁からまずは落ちよ>

 生徒の持てる数学の力の限界がはっきり現れるのが、図形問題です。いま、わたしがいうこの数学の力の限界とは、高校入試問題そのものへの処理対応能力であり、通常の学校での定期テストや実力テストレベルのことではありません。そのようなものは、教える能力と指導力があれば、如何様にも対処できます。また本人の努力があれば、そこそここなせていくでしょう。

 しかしなかに、どうにもこなせないものがあります。それが「図形の応用発展レベルの問題です。こなせるはずがない(?)のです。露悪的でかつ断定的な言い方をして申し訳ありませんが、もともと本人に「こなせる能力」そのものの次元が「あまりにも低い」のです。まったく備えていない、図形を観察する目と、考えるもとになる因子がありません。そういう生徒がいま、公立中学で非常に多くを占めている。ふだんそこそこ数学ができてる生徒も例外ではありません。

 これは教えても、幾度となく教えても、解く要領とコツ、解法の急所をとことん開示説明しても、ダメな場合が多い。なぜならそれは、いつまでもいつになっても延々とその場限りの真似事に過ぎない処理と、対応のしかたしかできないからです。根本は、つまり生徒の頭は、このレベルになると図形に関して少しも向上してはいない。

 この図形を解く能力は、計算を解く手順や文章題を式に転換していく方法を他人から教えてもらってマスターしていく学習とは性質がまったく異なり、自らが勝ち取る以外にはない、と単純かつ究極的な言い方をさせていただきます。

 そのための手段となる教材が、今回作った「算数の図形教室 by Toppo 」ということになります。

 狙いはただ一点、公立高校受験の数学に向けて、その図形問題に対処できる力の土台を築くことにあります。しかしこの土台は、算数の図形をもとにしていますが、相当高度であると思ってください。この土台を習得すれば、その力は既に、高校入試レベルの7割は最低押さえていると思っていただいて間違いはありません。

 逆に、この土台の図形能力がないから、小学校の間に培ってこないから、上述したような現象が数多の生徒に、そして相当数学ができている生徒ですら簡単な壁にぶつかりそこでまごまごしてしまう現象が起こるのですが。今回はこれに、はっきりメスを入れました。その対象は小学生のみならず、中学生も当て嵌まります。

 大切なことは、言葉の上だけのアドバイスや的を射た批判ではないのです。具体的に、目の前に、するべき最適の問題集がなくてはならない、そして学習する行動の中で掴んでいくものだ、と常に考えています。この問題集が最適最良かは皆様のご判断に委ねるとして、現時点、わたしの掴んでいるノウハウをすべて注ぎ込みました。

 細々した内容と構成はホームページ上でとして、概ね次のような意図と目標で作りました。

 現行の教科書の内容はあまりにレベルが低いわけで、まったく無視(といっても、基礎はしっかり押さえて入れていますが)、それに準じるワークや市販のあるいは塾専用問題集の内容、そのレベルに対しても特別とらわれることなくまた斟酌もしませんでした。ただ私立中学受験の算数の図形問題レベルとその内容は、相当に参考にしております。よって、ごく一部の問題では最上級もありますが、あくまで応用ランクの上級レベルまでを意識して構成、極度に思考力が要る、また図抜け図形センスが要る問題は採りあげていません。
 
 つまり、こういった図形問題と考え方は当然いまの間に身につけていて欲しい、こういうふうに解いていくのがまず基本の攻め方だろうが、この問題は補助線をすぐ引いて考えるのが普通であろうが、このようにして図形を観るのが、描くのがきまりであろうが、この問題は工夫して解くんだよ、ここでの面積計算は結合法則を利用するのが便利だな、など等、それはそれは、昔からある定番的な図形への考え方と解き方、基本作業のしかたを尊重して、問題構成と詳しい解説を、またそれ相当の問題演習量で能力を磨けるようにしてあります。

 そして何よりも、独自の視点と、生徒の数々の問題点となるところを真正面に見据えつつ問題の裏側に取り入れ、その不備と短所を改善する工夫を加えてあるところが、大きな特徴といえるでしょうか。

 独自の視点とは、問題を具体的にやっていかなければ正確にはわかりづらいと思うのですが、そして問題をすることによって徐々に気付いていく筈なのですが、あえていえば、その問題構成の按配と演習量、編集のしかた、解説の微妙なテクニックなどに存在します。また、算数が時に高校入試レベルを超えてしまうという事実に対し、その問題の種まきを、さらにこれは必然的な結果なのですが、中学2年段階までの内容と中3の一部(相似)を含んでしまうという内容に(逆にいえば、それほどいまの中学数学のレベルと位置は、従来と較べて、低下しているわけですが)、先々への大きな図形力の反映を期待する企てをもって、あちこちにちりばめて織り込んである次第です。

 中学受験をすれば至極当たり前のこととして学習するのだが、さらに高校入試でも当然の力として要求されるのだけど、図形に纏わる基本の作業と使いこなさなければならない重要知識とテクニックを、以下ざっと想いつくまま羅列してみたい。

・まず以って、見取り図を素早く描けるか?! 手書きで、しかもある程度正確に。平面図形にし  ろ、立体図形にしろ。
・補助線が的確に引けるか? 
・複雑な立体の場合の、底面と、特に高さがわかるか?! 
・等積変形の見方、考えが、頭に中に存在するか?
・底辺比=面積比の見方と使い方がわかっているか?
・相似の見方とその利用のしかたがわかっているか?
・3.14を使う計算の場合、式の計算の工夫が常に利用できるか?
・積み木の規則問題は、投影図の見方を利用できるか?
・角度を求める場合、3角形の外角定理をいつも利用できるか?
・角度が載っていないのに角度を求めよの問題では、すぐさま2等辺3角形(時に、正3角形)を掴 むのを知っているか?
・へんてこな形の面積を求める場合、全体からある部分を引くという観方が、頭に入っているか  ?
・円が転がれば、その中心は直線を描くことが理解できているか? また円が転がったあとの面 積はどうなるか、さらに角を曲がる場合、どのような動きをするか知っているか? 正3角形が 転がれば、扇形が転がれば、・・・。
・円すいの展開図で側面の扇形の中心角を、暗算で求める公式を暗記しているか? 
・立体の糸巻き問題では、素早く展開図を描き、平面で考えることを知っているか、また直線が  最短距離であることを当然のこととして理解しているか?
・立方体(ときに直方体)を斜めに切断した場合、その切り口がどのような図形になるか、また何 通りあるか、イメージできるか?!
・水がこぼれる問題の処理のしかたを知っているか?
・よくある円に関連した求積問題では、葉っぱの半分は牛の角と面積が同じあることを利用でき るか?
・正3角形が2つでひし形、3つで等脚台形、6つで正6角形、その目と面積転換、工夫のしかたを  知っているか?
・異なった図形の平行移動で重なった面積がどのような図形になるか、そのさまざまな変化をイ メージできるか?
・動点問題では時間とともに図形が変化するが、速さ×時間=距離の、その距離の読み方と図 形の中での捉え方を理解しているか?

 まあ、まだまだあるわけで、身につけておきたいことの、図形力の形成に欠かすことができない知識や作業の、半分くらいを書いたかと思いますが、細部を取り上げると切りがないのでこのへんにして、想いつくままランダムに列挙しました理由は、これがつまり図形力の姿であるということを、一つ一つ集めた集積ががまさに図形の力であることを、一つに知っておいてもらいたいということからです。

 一つ一つがまさに、ほんとに、とても重要なのです。やさしい基本の作業もあれば、難しい知識も少しは混じっています。そのやさしい基本の作業、たとえば最初に挙げた、見取図の描き方ですら、現実には多くの生徒は知りませんし、また思うように描けない。それが一般の生徒の、かなりできているように見える生徒の、信じたくない実態です。

 図形問題に強くなるには、一体どうすればいいか?! 大変ですね。その逆に、図形がどうも苦手、弱い、というのは至極簡単です。何にもしていないのですから。基礎の誰でも解ける、みてすぐわかる問題だけをしていては、なんもしていないのと同じでしょう! つまり、いまの学校の授業の基準です。努力も考えることも満足にせずに、うんうん頭を痛めて考える、とことん時間を
かけてしつこく考える、そういう姿勢と癖をつけることなしで、ほんとうの図形問題が、応用発展の図形問題が、できるようになるはずはないでしょう。

 「算数の図形教室 by Toppo 」は以上の内容と基準で作っていますので、誰にでもできるとはとてもいえませんし、思ってもいません。ただ、ほんとうに図形の力を獲得したい、図形問題に強くなりたい、そのためには少なからぬ努力と困難は厭わないという生徒に、またいまの学力と学習内容には、これでいいのかと大いに不安を感じる、そうかといって魅力に乏しい市販の問題集や、レベルがあまりにも高すぎる受験一色の問題集には手が出せないという方に、最適かと思っております。

 しかし、それでもまずは、断崖絶壁、です。その頂上から突き落とされます。転げ落ちて、岩肌と荒れた地面に擦り剥いて、怪我して、その大きく落ち込んだ地点から這い上がる道を捜すこと、自分の目と足で一歩一歩、足場を固めながら這い上がること、登れる道をしっかり見つけつつ徐々に登っていくことが要求されます。これこそが、この自力歩行こそが、まさに図形問題に対する実力獲得の、最短、最強の道でしょう。

 そのための問題選択と構成、問題配列、独自の問題形式、また基本から応用への手がかりとアドバイスを心がけ、さらに、詳しい説明と途中の式を飛ばさない手作りの解答とその説明を、繰り返し展開するようにしました。そして、あえて手書きで図形をすべて描きました。

 この問題集は、「算数の図形教室」と名前がついているように、「小学5・6年生」を対象としていますが(5年生は相当力のある生徒は別として、一般にはまだ負担が重いと思いますが)、それと同等かそれ以上に、「中学1・2年生」をも対象にしております(中3生の場合、夏休みまで。そうでなければとても間に合わない)。なんたってどのくらいこの図形算数が身についていないか、その影響で数学になっても解く力をまだ満足に持ち合わせていないか、十二分に知悉していますから(95%以上でしょう)。応用図形を観る目と解くノウハウを、この問題集で十二分に鍛えてみてください。