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 入試図形問題について<一段上の図形問題>

 数学の入試問題に入って図形問題を解きだすと、「難しくてわからない」と、生徒はよく言います。

 難しい、難しいといって、何が難しいのか、難しく感じるところはどこなのか、わからない原因になっているところはいったいどこからなのか、そして壁になって次に解き進めないのか?

 この難しくてわかないという問題個所と段階は、生徒によって、実はマチマチであります。このことをまず押さえておかねば、その生徒の正しい受験勉強、とくに図形対策の勉強はできません。

 二段上の図形問題は、まず絶対解けないのです。自分にとって一段上の図形問題を解くこと、その解く力の獲得を目指して受験勉強していくのが、数学の受験対策の正し姿であります。

 それを大部分の生徒は、間違ってとにかく入試問題とくに非常な配点を占める図形の過去問に対して、遮二無二にぶつかって解こうとします。ここで感じる「難しくてわからない」という問題はすべて、「応用問題」だという意識になるのがふつうです。

 確かに生徒の立場になって考えればそうなのですが、しかし客観的にいって、その問題のなかには教科書的レベルをきちんと理解、使いこなせばできる基礎問題も、生徒の学力よっては入っているケースもあり、必ずしも「応用問題」だとはいえないことがあります。このような生徒は、とにかく基礎と基本の勉強をひたすらやって、受験に臨むべきでしょう。

 そうではなく、客観的にいっていわゆる「応用問題」に対して、生徒はその全部をレベルと難しさを区別することなく、捉えてしまいがちなのが問題なのです。そして、解けなくてわからなかった問題を塾の講師や解答などの説明を受けたり読んだりして、理解する。しかし、これは何度もこれまでに書いてきていますが、「理解した」ことと「できるようになる」こととは、まったく違うのです。

 ここでの生徒が犯す間違いは、問題すべて(大問のなかの小問、仮に1から4まであるとすると、そのすべて)を理解し、自分でできるようになると錯覚することです。そうじゃない、たとえば小問2まではできたが、小問3で「難しくてわからなかった」なら、小問4は、理解しわかるようになったと思っても、入試ではほぼ98%できません。つまり、上でも書いたように、二段上の図形問題は、まず絶対解けないのです。そこまでの力は身についていない。

 大事なのは、まず自分でできた小問2までの力を入試でミスなく正解するよう、その確実さを高めていくことがひとつ、そして次に、小問3で「難しくてわからなかった」問題、つまりこれこそがその生徒にとって一番重要な懸案事項で、一段上の図形問題を解く力の獲得に努力することが、受験勉強に最も望まれる姿ではないかと考えています。

 そしてもうひとつ加えるならば、「ふだん」と「入試」では違うということです。ふだんの勉強で解けた問題が、入試では解けない(ミスも含めて)ということは、よく聞かれたことがあるか思います。入試という場面では、緊張感のなか冷静に問題を解き進めて行っても、時間という制約があります。

 たとえば小問3まで来て、一見、ふだんこれくらいは解けるようになっている問題でも、なにかの拍子で手こずったり、思わぬ壁にぶつかったりすると、思考が乱れたり、焦りが生まれたり、時間だけがすぎて解けないケースが出てくるものです。ふだんなら時間を気にせずじっくり考えて解く場合が多いでしょうし、また周りの環境もそれほど緊張感を強いるものではないでしょう。この違いは大きいです。ですから、これを想定内として、問題を見ればある程度解法が浮かぶまで、訓練に次ぐ訓練を重ね、時間配分も考えて、一段上の図形問題に関するあらゆるパターンの問題演習をしてくことが必要なのです。

 ここが中途半端な勉強に終わっている生徒は、入試本番の数学では思っているほどいい結果は残せないことになる確率は高くなります。ですから、豊富な問題演習を通して、ほんとうに自分ができるところまでとことん解法の追求してください。

 この難しくてわからないという「応用レベル図形問題の区別」は、わたしの基準ですが下にもう一度書いておきます。

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 各問題レベルの参考として、問題集の解答編では下の印をつけています。
無印: 教科書レベルの基礎知識があり、その運用がふつうにできていれば、まず解ける問題です。
★印: 入試応用問題のなかの基本レベルに位置し、確実に解けるようにしておくべき問題です。
★★印: 応用に関するさまざまな知識と解法のテクニックなど身につけていなければ、解けない問題です。正答率は3%から8%です。
★★★印: 応用問題のなかの上ランクに属する問題、いわゆる難問です。正答率は3%以下です。
★★★★印: 正答率1%未満の超難問です。

 なお、また上記を偏差値に置き換えてみると、次にような感じになります。<注:ただし、ここでの偏差値は、業者の有名模試を想定してその基準で書いてみます。公立トップ高のレベルは、偏差値68から72とします。(ネット上で表現されている偏差値はどうもインフレ気味で一般に高過ぎます。>

無印:偏差値50〜59
★印:偏差値60〜63 
★★印:偏差値64〜67  
★★★印:偏差値68〜72  
★★★★印:偏差値73〜75 
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 以上です。


 以下、今回、「入試図形の攻略Version5問題集」を改訂作業を進めていくにあたって途中で感じたことをひとつ、付け加えて書かせていただいておきます。

 それは「★★★★印:偏差値73〜75」の問題です。この超難問レベルの図形問題を公立入試で出す県は、わたしが知る限りですがそう多くはありません。宮崎県、宮城県、大阪府、あと長野県、滋賀県、徳島県なども入るかもしれま
せん(ほかにもあるかと・・・)。

 そのなかでも、恐れ入りますが大阪府の入試数学に関して感じたことであります(一般的ではないかもしれませんが・・・)。

 以前はずっと4問構成でした。が近年、文理学科(理数学科)など公立トップ高対象の数学C問題では3問構成になりました。細かな事はさしおき、4問から3問になることは、難化することを意味します。その3問のうち2問が、図形問題なのです。平面図形1問、空間図形1問です。関数問題は1問の大問のなかに含まれ、90点満点のうち48点が図形問題になります。

 関数問題(2次・1次関数問わず)というものは、ある程度出題パターンが決まっているもので、大問として出されればドミノ式に得点を獲得できるのですが、それがなくなって1番の大問のなかの小問として扱われるということは、何の手がかりもない状態で突如難しいことを訊いてくるので、解きにくくなっています。

 さて、図形の大問が2問。従来なら、大問のなかで小問(1),(2),(3),(4)と次第に難度が上がり、また形式としても、あとの問題に必要となるものを順に答えさせる、いわゆる公立入試数学のいまも全国都道府県に見られる定番的出題形式でした。つまりこれは、思考力が継続していけばいいわけで、終盤のとくに(4)の難問へのヒントになっている場合がほとんどでした。ですから、難問レベルの問題をかなり訓練をした生徒(その一部)なら、時間内に最終問題正解にも到達できました。

 それが平面図形も空間図形の問題も途中で、思考が途絶える問題設定というか、まったく新たな視点で切り組まねば解けない問題形式になってきたわけです。問題設定に工夫を凝らして作成されているのはいいのですが、問題集ではほとんど見かけないタイプのため、生徒が攻略の切り口を見抜けたかどうかと、いままで培ってきた多様な解法のカギをうまく組み合わせることができるかどうかで、大きな差がつく問題構成といえます。

 このことは実際問題を解いてもらえば肌でわかり実感することなのですが、そういうわけにはいかず、あえて言葉で表現すると「次のような感じ」です。

 小問2の証明で突然、壁にぶつかることがあります。なぜなら、従来とおりのすぐにできる基本的証明ではなく、あるノウハウを使った視点でみて、証明しなけばならないからです(このある視点というのがなかなか厄介で、気づかない生徒が大半なのですが)。

 さて、「次のような感じ」とは。

 意識を集中しかつ緊張し問題を解いてきました、そして次の問題に入ろうとしたら、ぶ厚い壁にぶつかる。しかし、壁という表現は古いので、ここでは川とします。川を越えねば、次の目的地に着く道程に入りません。泳いで渡るには急流すぎます。小さな橋を捜します。その橋はふつうすこし捜せば見つかるのですが、周りに藪が多すぎてなんとも見つけにくい。あちこち歩き回っても、渡る橋が見えない。時間は刻々と過ぎていく。集中力は続かず、思考も行き詰り、折れ刀折れ、ここで降参。疲労困憊です。こんな感じでしょうか。

 陸上競技で一番苦しいのは800メートル競走だと聞いたことがありますが、それを力いっぱい平面図形でやり、そしてもうひとつ空間図形でもやる感じに似ており、思考力も集中力も甚だしく消耗します。ふつう難しい問題を解いても適当に息抜きはできますが、それを許してもらえない厳しい問題です。

 ですから、数学C問題(数学の発展問題)の平均点は90点満点で、ある情報に拠ると、40点台、30点台、かなり問題が易化した年でも50点台でした。予想合格点は年度によって当然違ってきますが、6割から7割(気紛れに軟化したときだけ、トップ高のなかのトップ高だけ8割)あたりになります。
 
 仮にここでは7割として考えますが、3割の27点ができなくてもいい、また逆にいえば、27点の問題が生徒はできない問題と捉えていいでしょう。その内訳は、1番の大問(小問の各レベルがけっこう高いです)のなかで2問ができなかった(あるいはミスをした)。そして大問2番の平面図形と3番の空間図形の各最終問題と、どちらか小問の3番目(5問になる場合もあり、その場合は最終手前の問題)の問題の計3問が解けなかった。と、いうふうに推測できます。(しかし★★★★印の問題は1問か2問で、ほかは★★★印レベルですが)

 生徒にとって非常に手強い思考力を要する問題であり、私立超難関校にありがちな応用問題が、このなかに含まれるようになったということです。


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 ●「入試図形問題の攻略 Version5<247問>」

・ここに来て、一生懸命勉強しているのに、数学の点数が上がらない生徒塾で入試対策の数学の問題を解いて理解はできているのに、いざ模試になると結果が出ない生徒・公立トップ高校合格には、数学の図形応用問題がもう少し確実にできなければならない生徒

 生徒が問題を解いたあと、当然解けなかった問題がいろいろ出てきます。その問題に対し、誰の手も借りず生徒自身の頭で考え、如何に解けばいいのか、そして解法のポイントはどこでどう押さえて覚えていれば次のとき解けるようになるのか、これらのことが解答編では、つねに解説とポイントで詳しく書いています。また、覚えていれば大変役立つ公式も明記し、長い計算式も省くことなく明記しています。

 深く理解できるのはもちろん、重要な知識や解法テクニックをしつこく盛り込んで作ってありますので、似た問題のくり返し学習によって、単にわかるから「できる力」の養成が間違いなく図られることでしょう。


「次の1問がなんとしても入試で解ける図形力」を身につけるために、この問題集をご利用ください!