<証明問題> 問題3ー解答     INDEXへ戻る      問題3へ  
<問い>下の図のように、線分ABを直径とする半円の周上にAC=BCとなる
点Cをとる。また、弧AC上の点をDとし、線分BDとACの交点をPとする。点Aを
通り、線分ACに垂直な直線を引き、その直線上にCP=AQとなる点Qを、
線分CQとBDとの交点をR、線分CQとABの交点をSとする。
このとき、CR⊥BPであることを証明せよ。
〔証明〕
△AQCと△CPBにおいて、
仮定より、AC=CB…
      AQ=CP…
直径に対する円周角は90度だから、
∠PCB=90度
よって、∠QAC=∠PCB=90度…
 ↓◆↓より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△AQC≡△CPB
ゆえに、∠ACQ=∠CBP…
より、CB〃AQだから、
∠AQC=∠BCR…
ぁ↓イ茲蝓
∠ACQ+∠AQC=∠CBP+∠BCR
三角形の内角の和は180度だから、
△AQCで、∠ACQ+∠AQC=180度−90度=90度
よって、∠CBP+∠BCR=90度
△BCRにおいて、∠CRB=180度−90度=90度になるから、
CR⊥BP

〔解説〕<難レベル>
CR⊥BPをどのように証明していけばいいのか。
つまり、∠CRB=90度を証明できればいいのだけど、その前に、
△AQC≡△CPBをます証明する。こういう段取りを考えることが、
入試の応用レベルの証明である。
丸暗記できるぐらい繰り返して考えれば、証明のポイントと流れが
見えてくる。
〔寸評〕
・垂直であることの証明、3点が1直線上にあることの証明、こういう
問いにも対応できる能力を、中2のあいだにも磨いていきたい。
もちろん中3でも構わないが、入試前にバタバタやるようではとても
間に合わないと思ったほうがよい。まだまだ図形でも覚えていくこと
ことが、たくさんあるから。