2部【図形編】<NO.9>解答  問題へ 説明ページに戻る
 右図のように、底辺が1辺6pの正方形で、側面が正三角形である正四角すいO-ABCDがある。辺OA上にOE:EB=1:2となる点Eを、辺OB上にOF:FB=2:1となる点Fを、辺OC上にOG:GC=1:2となる点Gをとる。このとき、次の問いに答えよ。<福島>

(1)頂点Oから底面にひいた垂線と底面との交点をMとするとき、線分OMの長さを求めよ。
(2)3点E,F,Gを通る平面とOMとの交点をNとするとき、△ONFの面積を求めよ。
<概評>
すべての辺が等しい正四角すいは入試では非常によく出る立体である。見ての通り、底面は正方形、側面は正三角形である。
問題は「斜めに切断する」ものが多く、園場合必ず断面図を描くことになるが、辺の長さが1:1: √2の関係になり、つまり直角二等辺三角形であることを最初からわかっていて作図すること!

※問題を解くための最低条件
 立体のまま考えない!
       ↓
 断面図(or平面)で考える!
 (すばやく描けるように)

(1)は基礎として、(2)がなんとしてもできるようになっておくこと!
 底辺比=面積比(大切)
を利用して求めてゆく。

(3)は難。
 NPの補助線(垂線)引けるかどうかがポイント。

 公立トップ校受験生でもそれほど多くは解けない。だから解けなくても差は出ない。(2 )ができることが大切なのだ。ここで差がつく。
(3)3点E,F,Gを通る平面とODとの交点をHとするとき、Hと底面との距離を求めよ。